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连续性方程

连续性方程是物理学中一个非常基本且重要的概念，它本质上是质量守恒、电荷守恒等守恒定律在流体流动或场分布中的数学表述。

连续性方程的核心思想非常简单：

对于一个固定的空间区域，单位时间内流入该区域的某种量，等于该区域内部该量的增加率。

换句话说，东西不会凭空产生，也不会凭空消失。如果流入的多，流出的少，那么区域内部就会堆积起来；反之，内部的量就会减少。

最典型的应用是在流体力学中，描述质量守恒。

这是连续性方程最直观和常见的应用。

这是最精确的描述，适用于空间中的任意一个点。其方程为：

\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0\]

让我们来分解这个公式：

$\rho$（密度）：流体的密度。
$\mathbf{v}$（速度矢量）：流体在该点的速度。
$t$（时间）：时间变量。
$\frac{\partial \rho}{\partial t}$（密度随时间的变化率）：表示在某一个固定点，流体的密度随时间变化的快慢。
$\nabla \cdot (\rho \mathbf{v})$（质量通量的散度）： $\rho \mathbf{v}$ 称为质量通量，表示单位时间单位面积流过的质量。其散度 $\nabla \cdot$ 衡量的是该点质量通量的“净流出量”。

物理意义解读：

如果 $\nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) > 0$，表示从该点“流出”的质量多于“流入”的质量，即有净流出。
为了使质量守恒，该点内部的质量必须减少，因此密度必须随时间减小，即 $\frac{\partial \rho}{\partial t} < 0$。
方程 $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$ 正是精确地描述了这种平衡关系：净流出率 + 内部增加率 = 0（因为内部增加率是负的，所以净流出率是正的）。

总而言之，连续性方程是自然界中“守恒”这一基本哲学思想在数学上的完美体现，是连接微观变化与宏观流动的桥梁，在科学与工程的众多领域中都是基石般的方程。

在概率密度中一般使用$p=p(x,t)$表示在x处时刻t的概率密码,$\mathbf{u}=\mathbf{u}(x,t)$表示x处时刻t速度场因此，连续性方程也可以写成：

\[\frac{\partial p}{\partial t} + \nabla \cdot (p \mathbf{u}) = 0\]

System）是数值求解中一类具有特殊挑战性的常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）系统，其核心特征在于不同时间尺度或空间尺度的剧烈分离，导致传统数值方法（如显式欧拉法）在常规步长下可能失效。

定义与数学本质

形式定义：若系统在部分区域对步长 $h$ 极端敏感（需极小 $h$ 才能稳定），而其他区域允许较大 $h$，则称该系统为刚性系统。例如，线性系统 $\mathbf{y}’ = A\mathbf{y}$ 中，若矩阵 $A$ 的特征值 $\lambda_i$ 满足 $\max

\text{Re}(\lambda_i)

\gg \min

\text{Re}(\lambda_i)

$（实部差异巨大），则系统刚性显著。